Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp per buah dan sepeda balap dengan harga Rp per buah. Ia berencana tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp dan sebuah sepeda balap Rp maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah … Pembahasan Tanpa membuat tabel, kita dapat memodelkan kendala-kendala dari permasalahan tersebut sebagai berikut. x + y ≤ 25, + ≤ x ≥ 0, y ≥ 0, x dan y bilangan cacah. Dengan fungsi objektifnya adalah fx, y = + Sehingga apabila digambarkan, daerah selesaiannya akan nampak seperti berikut. Selanjutnya kita tentukan titik potong grafik persamaan + = dan x + y = 25. Sehingga, Diperoleh, Selanjutnya kita lakukan uji titik pojok ke dalam fungsi objektifnya. Jadi, keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah Rp Luas daerah parkir m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp dan mobil besar Rp Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah…. A. Rp B. Rp C. Rp D. Rp E. Rp Pembahasan Membuat model matematika dari soal cerita di atas Misal mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y. Luas parkir 1760 m2 4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadi x + 5y ≤ 440…….Garis I Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan x + y ≤ 200 …………..Garis II Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran fx, y = 1000 x + 2000 y Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2 Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu, Garis 1 x + 5y = 440 Titik potong sumbu x, y = 0 x + 50 = 440 x = 440 Dapat titik 440, 0 Titik potong sumbu y, x =0 0 + 5y = 440 y = 440/5 = 88 Dapat titik 0, 88 Garis 2 x + y = 200 Titik potong sumbu x, y = 0 x + 0 = 200 x = 200 Dapat titik 200, 0 Titik potong sumbu y, x =0 0 + y = 200 y = 200 Dapat titik 0, 200 Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2 Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi. x + 5y = 440 x + y = 200 ____________ _ 4y = 240 y = 60 x + y =200 x + 60 = 200 x = 140 Titik potong kedua garis aalah 140, 60 Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya, serta daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas. Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah ke fx, y = 1000 x + 2000 y Titik 0,0 → fx, y = 1000 0 + 200 0 = 0 Titik 200,0 → fx, y = 1000 200 + 2000 0 = 200 000 Titik 0, 88 → fx, y = 1000 0 + 2000 88 = 176 000 Titik 140,60 → fx, y = 1000 140 + 2000 60 = 260 000 Dari uji titik terlihat hasil parkiran maksimum adalah Rp 260 000 Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari f x, y = 7x + 6y adalah…. A . 88 94 C. 102 D. 106 E. 196 Pembahasan Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya Cara pertama dalam membuat persamaan garis y − y1 = m x − x1 dengan m = Δy/Δx Persamaan garis yang melalui titik 12, 0 dan 0, 20 adalah m = 20/−12 = − 5/3 y − 20 = − 5/3 x − 0 y − 20 = − 5/3 x y + 5/3 x = 20 3y + 5x = 60 Persamaan garis yang melalui titik 18, 0 dan 0, 15 m = 15/−18 = − 5/6 y − 15 = − 5/6 x − 0 y + 5/6 x = 15 6y + 5x = 90 Cara kedua dalam membuat persamaan garis bx + ay = ab Untuk garis yang memotong sumbu x di 12 dan y di 20 adalah 20x + 12 y = 240 sederhanakan lagi 5x + 3y = 60 Untuk garis yang memotong sumbu x di 18 dan y di 15 adalah 15x + 18y = 270 sederhanakan lagi 5x + 6y = 90 Titik potong kedua garis 6y + 5x = 90 3y + 5x = 60 _________ – 3y = 30 y = 10 310 + 5x = 60 5x = 30 x = 6 Titik potong kedua garis adalah 6, 10 Uji titik f x, y = 7x + 6y Titik 0, 0 → f x, y = 70 + 60 = 0 Titik 12,0 → f x, y = 712 + 60 = 84 Titik 0, 15 → f x, y = 70 + 615 = 90 Titik 6, 10 → f x, y = 76 + 610 = 102 Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102 Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat? 6 jenis I B. 12 jenis II C. 6 jenis I dan 6 jenis II D. 3 jenis I dan 9 jenis II E. 9 jenis I dan 3 jenis II Pembahasan Barang I akan dibuat sebanyak x unit Barang II akan dibuat sebanyak y unit Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya x + 3y ≤ 18 2x + 2y ≤ 24 Fungsi objektifnya fx, y = 250000 x + 400000 y Titik potong x + 3y = 18 x2 2x + 2y = 24 x 1 2x + 6y = 36 2x + 2y = 24 ____________ _ 4y = 12 y = 3 2x + 63 = 36 2x = 18 x = 9 Titik potong kedua garis 9, 3 Berikut grafik selengkapnya Uji Titik ke fx, y = 250000 x + 400000 y Titik 0,0 fx, y = 250000 0 + 400000 0 = 0 Titik 12, 0 fx, y = 250000 12 + 400000 0 = 3000 000 Titik 9, 3 fx, y = 250000 9 + 400000 3 = 3450 000 Titik 0, 6 fx, y = 250000 0 + 400000 6 = 2400 000 Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga per buah dan sepeda balap dengan harga per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Jika keuntungan sebuah sepeda gunung dan sebuah sepeda balap maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah… B. C. D. E. Pembahasan Banyak sepeda maksimal 25 Uang yang tersedia 42 juta Titik potong i dan ii Keuntungan Jawaban A Seorang pedagang gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual dan bakwan Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang adalah… B. C. D. E. Pembahasan Gorengan jadi x, bakwan jadi y Modelnya 1000x + 400y ≤ 250000, sederhanakan, bagi 100 dapat persamaan i i 10x + 4y ≤ 2500 ii x + y ≤ 400 fx,y = 300x + 200y Titik potong garis i dan ii dengan sumbu x dan y masing-masing Grafik selengkapnya Uji titik A, B, C Nilai minimum dari fx,y = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 7, x + y ≥ 5, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah… 14 B. 20 C. 23 D. 25 E. 35 Pembahasan Langsung cari titik potongnya dulu 2x + y = 7 x + y = 5 ———— − x = 2 y = 3 Dapat titik A 2, 3 Berikut grafik selengkapnya Uji titik fx, y = 4x + 5y A2, 3 = 42 + 53 = 23 B5, 0 = 45 + 50 = 20 C0, 7 = 40 + 57 = 35 Terlihat nilai minimumnya adalah 20. Tentukan nilai maksimum dari fungsi fx,y = 3 x + 5 y dengan batasan 3x + y ≤ 6 x + 2y ≤ 4 x ≥ dan y ≥ 0 Jawab Kita gambarkan derah hasil dari pertidak samaan 3x + y ≤ 6 dan x + 2y ≤ 4 pada diagram cartesius Pertidaksamaan Titik Potong Sb x Titik Potong Sb y 3x + y ≤ 6 2,0 0,6 x + 2y ≤ 4 4,0 0,2 Dengan menggunakan yang telah kami jelaskan sebelumnya maka di dapat gambar Kita tentukan titik B yang merupakan titik potong dua pertidaksamaann menggunakan metode eliminasi bisa juga substitusi 3x + y = 6 [x 2] ⇒ 6x + 2y = 12 x + 2y = 4 [x 1] ⇒ x + 2y = 4 —————————————— – ——————– 5x = 8 ——————– x = 8/5 x + 2y = 4 16/5 + 2y = 4 2y = 4 – 8/5 = 20/5 – 8/5 = 12/5 y = 6/5 Dari diagram cartesius tersebut sobat dapatkan titik ekstrim O 0,0 ; A 2,0 ; B 8/5,6/5 ; C 0,2 Nilai f x,y = 3 x + 5 y kita cari untuk masing-masing titik ekstrim fO = 0+0 = 0 fA = 32 + 50 = 6 fB = 38/5 + 56/5 = 54/5 = 10 4/5 f C = 30 + = 10 Jadi nilai maksimal dari fungsi tujuan adalah 10 4/5 yang didapat pada kondisi titik B 8/5,6/5 Seorang penjahit mempunyai persediaan 84 m kain polos dan 70m kain batik. Penjahit tersebut akan membuat 2 jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 4m kain polos dan 2 meter kain batik, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 3m kain polos dan 5m kain batik. Jika pakaian jenis I dijual dengan laba Rp. dan pakaian jenis II dijual dengan laba Rp. per potong. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah A. Rp C. Rp E. Rp B. Rp Ditanya laba maksimum jika x + y = ….? Jawab Jenis kain polos Kain Batik Pakaian jenis I X 4 2 Pakaian jenis II Y 3 5 Total 84 70 *Model matematikanya 4x + 3 y ≤ 84 2x + 5 y ≤ 70 X 0 21 Y 28 0 x,y 0,28 21,0 *4x+3y ≤ 84 *2x+5y ≤ 70 X 0 35 Y 14 0 x,y 0,14 35,0 Metode Eliminasi 4x+3y = 84 x1 4x + 3y = 84 2x+5y = 70 x2 4x +10y = 140 – -7y = -56 y = -56/-7 y = 8 Metode Subtitusi 2x + 5 y = 70 2x + = 70 2x + 40 = 70 2x = 70 – 40 2x = 30 x = 15 titik potongnya 15, 8 *Mencari nilai max jika x + y 0, 14 0 + 14 = 21, 0 21 + 0 = Rp. 15, 8 15 + 8 = + = Rp → Nilai Max Jawabannya adalah B. Rp Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam kerja mesin I dan 4 jam kerja mesin II, sedangkan untuk barang B diperlukan 4 jam kerja mesin I dan 8 jam kerja mesin II. Setiap hari kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika setiap hari dapat dihasilkan x barang A dan y barang B, maka model matematikanya adalah sistempertidaksamaan… A. 6x + 4y ≤ 18, 2x + 8y ≤ 18 , x ≥0 dan y ≥ 0 B. 3x + 2y ≤ 9 , 2x + 4y ≤ 9 , x ≥0 dan y ≥ 0 C. 2x + 3y ≤ 9 , 4x + 2y ≤ 9 , x ≥ 0 dan y ≥ 0 D. 3x + 4y ≤ 9 , 2x + 2y ≤ 9 , x ≥ 0 dan y ≥ 0 E. 2x + 3y ≤ 9 , 2x + 4y ≤ 9 , x ≥0 dan y ≥ 0 Jawab Jenis Mesin 1 Mesin 2 Barang A X 6 n 4 Barang B Y 4 8 Total 18 18 Model Matematikanya X ≥0 dan Y ≥0 6x+4y ≤ 18 dibagi 2 menjadi 3x+2y ≤ 9 4x+8y ≤ 18 dibagi 2 menjadi 2x+4y≤9 Jadi,model matematikanya adalah B. 3x+2y ≤ 9 , 2x+4y≤9, X ≥0 dan Y ≥0